||| Natrag: Uvod: Matematički pristup računarskoj grafici | Gore: Matematički temelji računarske grafike | Naprijed: Projekcije |

Transformacije grafičkih objekata

Transformacije grafičkih objekata mogu se prikazati u matričnom obliku na sažet i jednostavan način. Objekti uobičajeno sadrže velik broj točaka pa i transformacije sadrže velik broj istovrsnih aritmetičkih operacija.

Transformacija objekta obavlja se tako da se ista transformacija primijeni na sve njegove točke.

Transformacija translacije

Transformacijom translacije obavlja se pomak točke V u točku V’ za iznos (T_x, T_y). Koordinate transformirane točke mogu se odrediti sljedećim dvjema jednadžbama:
        x’ = x + T_x
        y’ = y + T_y

Sažetiji način zapisa ovog proračuna u homogenom prostoru može se izvesti ako definiramo matricu translacije T na sljedeći način:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V T

Rotacija nekog objekta obavit će se na način da se primjenom gornje jednadžbe rotiraju sve njegove točke.

Transformacija rotacije

Transformacijom rotacije definirana je rotacija točke V oko ishodišta za kut Θ. Koodinate točke V' koja nastaje rotacijom točke V oko ishodišta za kut Θ mogu se izračunati na sljedeći način:
        x’ =  x cos Θ  +  y sin Θ
        y’ = -x sin Θ  +  y cos Θ

Sažetiji način zapisa ovog proračuna u homogenom prostoru može se izvesti ako definiramo matricu rotacije R na sljedeći način:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V R

Translacija nekog objekta obavit će se na način da se primjenom gornje jednadžbe translatiraju sve njegove točke.

*Transformacija promjene faktora proporcionalnosti

Transformacija promjene faktora proporcionalnosti za faktor S_x u smjeru  koordinatne osi x i za za faktor S_x u smjeru  koordinatne osi y definirana je sljedećim jednadžbama:
        x’ = x S_x
        y’ = y S_y

Sažetiji način zapisa ovog proračuna u homogenom prostoru može se izvesti ako definiramo matricu promjene faktora proporcionalnosti S na sljedeći način:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V S

*Transformacija smika

Transformacija smika za kut a u odnosu na koordinatnu os x i kut b u odnosu na   koordinatnu os y definirana je sljedećim jednadžbama:
        x’ =  x  + y tg b
        y’ = y + x tg a

Sažetiji način zapisa ovog proračuna u homogenom prostoru može se izvesti ako definiramo matricu smika D na sljedeći način:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V D

Složene transformacije

U slučajevima kad je potrebno izvesti složene transformacije npr. kombinaciju translacije i rotacije moguće je pristupiti na način da se obavljaju redom pojedine elementarne transformacije. Međutim, ovaj način zahtijeva velik broj matričnih množenja. Taj broj se može smanjiti ako se definira matrica složene transformacije M množenjem matrica pojedinih elementarnih transformacija M₁, M₂, ... M_n. Nakon toga se obavlja množenje vektora pojedinih točaka s matricom složene transformacije.
        V’ = V (M₁ M₂ ... M_n)
        V’ = V M

*Transformacija rotacije u 3D prostoru

U 3D prostoru moguće je definirati rotaciju u odnosu na ishodište oko svake pojedine koordinatne osi. Točka s koordinatama (x,y,z) iz 3D prostora u homogenom prostoru predstavljena je vektorom [x₁ x₂ x₃ x₄]. Rotacija točke oko osi x za kut Θ (kut njihanja ili kut nutacije) definirana je u homogenom prostoru sljedećom transformacijskom matricom:
       

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V R_x

Rotacija točke oko osi y za kut j (kut vlastite vrtnje) definirana je u homogenom prostoru sljedećom transformacijskom matricom:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V R_y

Rotacija točke oko osi z za kut f (kut precesije) definirana je u homogenom prostoru sljedećom transformacijskom matricom:

U homogenom prostoru možemo odabrati vrijednost dodatne koordinate npr. iznosa 1 pa  matrična jednadžba za proračun koordinata transformirane točke ima sljedeći oblik:

Ovakva jednadžba može se napisati u sažetom obliku na sljedeći način:

        V’ = V R_z

Povratak na: Početak stranice | Sadržaj

  ||| Natrag: Uvod: Matematički pristup računarskoj grafici | Gore: Matematički temelji računarske grafike | Naprijed: Projekcije |

Inženjerska grafika, Copyright © D.Begusic