13 ANALOGNO-DIGITALNA PRETVORBA

 

Pretvorba kontinuiranog (analognog) signala u digitalni signal (A/D) i obrnuto (D/A) sastavni je dio suvremenih sustava za obradbu, pohranu i prijenos informacija.

Govorni signali, signali zvuka (audio) i videa, su kontinuirani po vremenu i po amplitudi. Pretvorba kontinuiranog signala u digitalni zahtijeva sljedeće postupke:

 

·       diskretizaciju po vremenu i/ili prostoru (uzorkovanje)

·       diskretizaciju po amplitudi (kvantizacija)

·       pretvorbu diskretnih dekadskih vrijednosti amplitude u digitalnu vrijednost (kodiranje)

 

 

Slika 13.1 Analogno-digitalna pretvorba

 

A/D pretvorba predstavlja ustvari kodiranje izvora (informacije) i to kodiranje uz određeni gubitak informacije. Gubitak je informacije obično prisutan jedino u postupku kvantizacije dok postupci uzorkovanja i kodiranja obično predstavljaju kodiranje bez gubitka informacije.

 

13.2 Uzorkovanje

 

Čemu uzorkovanje? Prvo, digitalni sustavi mogu raditi samo s diskretnim i konačnim skupom podataka. Drugo, ako se uzorkovanjem ne gubi informacija, obradba na razini uzoraka, umjesto na razini kontinuiranog signala, znači uštedu. Štoviše, sustavi koji sudjeluju u obradbi, pohrani ili prijenosu informacije, mogu uzorkovanjem biti vremenski raspodjeljeni između više korisnika.

 

Pretpostavka: Svi realni procesi koje susrećemo u praksi su takvi da im je spektralna gustoća jednaka nuli (ili je zanemariva) kod i iznad neke gornje frekvencije fc. Odgovarajući signal x(t) posjeduje dakle ograničen frekvencijski spektar kao na slici 13.2.

 

 

Slika 13.2 Realni slučajni signali imaju ograničen spektar

 

Vrijedi:

                 (13.1)

 

Zbog njene posebne važnosti frekvencija fc se naziva kritična frekvencija signala x(t).

 

Temeljna su pitanja:

·       da li se uzorkovanjem, uz povoljno odabranu frekvenciju fs, može sačuvati cjelovita informacija sadržana u signalu x(t)?

·       čime je određena frekvencija uzorkovanja fs koja jamči cjelovitost informacije?

 

Odgovori na ova pitanja proizlaze iz analize spektralne gustoće uzorkovanog signala.

 

Spektralna gustoća uzorkovanog signala

Uzimanje uzoraka iz kontinuiranog signala x(t) uz vremenski interval Dt može se interpretirati kao množenje te funkcije sa slijedom impulsa perioda Dt odnosno frekvencije fs = 1/Dt (slika 13.3).

 

 

Slika 13.3 Uzorkovanje kontinuirana signala

 

Vrijedi:

                                   (13.2)

Uz Fourierove transformacijske parove:

       

       

izraz (13.2) postaje:

       

ili:

                (13.3)

 

Neka vrijedi:

                                  (13.4)

gdje je fc kritična frekvencija a fs je frekvencija uzoraka.

Izraz (13.3) se može pisati u obliku (poglavlje 12):

                                    (13.5)

 

Slijedi da spektralna gustoća Xs(f) predstavlja periodično ponavljanje X(f) s periodom fs.

 

 

Slika 13.4 Grafički prikaz izraza (13.3) i (13.5)

 

Iz slike 13.4 se može zaključiti da očigledno vrijedi:

                          (13.6)

 

Zaključak: spektralna je gustoća signala uzoraka Xs(f) jednaka spektralnoj gustoći kontinuiranog signala X(f) (za konstantan faktor fs) u frekvencijskom području .

 

Priozlazi da se originalni kontinuirani signal x(t) može dobiti iz signala uzoraka xs(t) prolaskom ovog signala kroz idealni niskopropusni (NF) filtar granične frekvencije

fg = fs / 2 (slika 13.5). Prijenosna funkcija filtra treba dakle biti:

                                       (13.7)

 

 

Slika 13.5 Originalni kontinuirani signal se dobiva prolaskom signala uzoraka kroz filtar definiran izrazom (13.7)

 

Zaključak: Uzorkovani signal može sačuvati cjelovitu informaciju kontinuiranog signala. Uvjet koji treba biti ispunjen je: frekvencija uzorkovanja fs treba biti barem dvostruko veća od kritične frekvencije kontinuiranog signala fc tj.:

                                                       (13.8)

 

Teorem o uzorkovanju

Impulsni odziv idealnog NF filtra granične frekvencije fg je dan izrazom:

                                                     (13.9)

Ako je na ulazu filtra signal uzoraka xs(t), izlaz x(t) je definiran konvolucijom (poglavlje 15):

 

                                          (13.10)

 

Signal uzoraka xs(t) se može na temelju (13.2) pisati:

       

pa izraz (13.10) postaje:

       

Konvolucija neke funkcije sa impulsnom (Diracovom) funkcijom daje opet tu istu funkciju pa vrijedi:

 

                     (13.11)

ili uz granični slučaj :

          

odnosno:

                     (13.12)

 

Izrazi (13.11) i (13.12) predstavljaju teorem o uzimanju uzoraka koji kaže: Kontinuirani signal, frekvencijski ograničena spektra , može biti bez gubitka informacije zamijenjen signalom uzoraka ako su uzorci uzeti svakih , tako da vrijedi:

                                              (13.13)

 

Izrazi (13.8) i (13.13) su jednaki. Izraz (13.8) je rezultat analize a izraz (13.13) je rezultat sinteze kontinuiranog signala.

 

 

Pojava prekrivanja i njegovo otklanjanje (antialiasing)

 

Što ako nije zadovoljen uvjet (13.13) tj. ako je frekvencija uzoraka manja od dvostruke kritične frekvencije?

Ako dakle vrijedi:

       

može se problem razmotriti u frekvencijskom području (slika 13.6). Očito sada vrijedi:

       

pa se može ustvrditi da je postupkom uzorkovanja izgubljen dio informacije. Može se govoriti o tzv. učinku prekrivanja (aliasing efect) koji je posljedica nedovoljno visoke frekvencije uzoraka.

 

Slika 13.6 Učinak prekrivanja zbog nedovoljno visoke frekvencije uzorkovanja

 

Učinak prekrivanja može biti otklonjen ako se spektralni sadržaj ulaznog kontinuiranog signala prije uzorkovanja ograniči na polovinu frekvencije uzorkovanja. Ovo se ograničenje spektra može jednostavno ostvariti prolaskom signala kroz idealni NF filtar (antialiasing filtar) granične frekvencije fg = fs / 2 kao što je to prikazano na slici 13.7. Na ovaj je način za signal prije uzorkovanja osigurano da kritična frekvencija iznosi

fc = fs / 2 što jamči sačuvanje cjelovite informacije nakon uzorkovanja.

 

 

Slika 13.7 Primjena 'antialiasing' filtra kod uzorkovanja

 

U praksi se filtriranje koje spriječava pojavu prekrivanja spektara koristi uvijek bez obzira da li je uvjet (13.13) ispunjen čime se otklanja prekrivanje eventualno prisutnog šuma čiji spektralni sadržaj postoji i kod frekvencija iznad kritične frekvencije signala.

 

Primjer 13.1 Uzorkovanje sinusne funkcije

Zadatak: Odrediti frekvenciju uzorkovanja sinusnog signala frekvencije f1 = 1000 Hz tako da ne dođe do pojave prekrivanja.

 

Rješenje: iz izraza (13.8) slijedi:

       

 

Ako je f1 = 1000 Hz, kritična frekvencija fc definirana izrazom (13.1) mora biti:

       

Npr. može se uzeti fc = 1001 Hz ili slično. Slika 13.8a prikazuje niz uzoraka uz fs = 2500 Hz > 2fc. Međutim ako bi se uzela fc = 1000 Hz i fs = 2fc = 2000 Hz uzorci bi bili kao na slici 13.8b. Očito je 2000 Hz nedovoljno visoka frekvencija.

 

 

Slika 13.8 Uzorkovanje sinusna signala frekvencije 1000 Hz

a)   dovoljno visoka frekvencija uzorkovanja fs = 2500 Hz

b)   nedovoljno visoka frekvencija uzorkovanja fs = 2000 Hz

 

 

Primjer 13.2 Uzorkovanje složena periodična signala

Zadan je periodičan signal

 

       

Odrediti:

a)   kritičnu frekvenciju fc

b)  analogni signal na izlazu iz filtra na slici 13.5 ako je frekvencija uzoraka fs = 5000 Hz.

 

Rješenje:

a)   Najviša frekvencija u signalu je 6000 Hz pa je fc > 6000 Hz (npr. 6001 Hz).

b)  Zbog fs = 5000 Hz < 2fc = 12002 Hz javlja se učinak prekrivanja. Rezultirajući signal se može lako odrediti na temelju spektra uzorkovanog signala. Na temelju konvolucije kao na slici 13.6 može se zadani primjer (uz sliku 10.15) lako dobiti (vidi sliku):

 

 

 

Primjer 13.3 Uzorkovanje audio signala (CD-audio)

Spektralni sadržaj audio signala je određen čujnošću ljudskog uha koja obuhvaća područje od desetak hertza da 20 kHz. Standardna audio CD kvaliteta obuhvaća područje do 22 kHz čime je definirana kritična frekvencija fc. Frekvencija uzorkovanja audio signala je dakle barem dvostruko veća od kritične frekvencije i iznosi fs = 44.1 kHz. Slika 13.9 ilustrira uzorkovani signal trajanja 10 ms signala gitare za akord D-dur uz fs = 44.1 kHz.

 

 

 

Slika 13.9 Uzorkovani signal gitare uz akord D-dur

 

Vremensko multipleksiranje signala (TDM)

 

Budući se kontinuirani signal može zamijeniti nizom uzoraka bez gubitka informacije, vrijeme između uzoraka može biti iskorišteno za obradbu, pohranu ili prijenos drugih također uzorkovanih signala. U tom slučaju govorimo o vremenski multipleksiranoj (TDM) obradbi, pohrani ili prijenosu signala. Slika 13.10 ilustrira višestruki (multipleksni) prijenos signala sa vremenskom raspodjelom putem jednog te istog komunikacijskog kanala. Sustav za uzimanje uzoraka sinkrono uzorkuje signal po signal s frekvencijom fs uz vremensko kašnjenje DT = 1 / (M fs), gdje je M broj multipleksiranih signala. Frekvencija uzoraka u kanalu je dakle jednaka M fs.

 

 

Slika 13.10 Vremensko multipleksiranje (TDM)

 

Primjer 13.4 PCM primarni sustav

Vremensko multipleksiranje se primjenjuje u svim suvremenim komunikacijskim i informacijskim sustavima. Tipičan primjer je multipleksiranje 32 telefonska kanala u jedan standardni PCM kanal (link). Frekvencija uzoraka kojom se uzorkuju telefonski signali iznosi 8 kHz pa je frekvencija uzoraka u PCM TDM kanalu 32 × 8 = 256 kHz (poglavlje 16).

 

13.3 Kvantizacija

Vrijednosti uzoraka uzetih iz kontinuiranog signala su kontinuirane tako da vrijedi:

           R      (skup svih realnih brojeva)

Skup kontinuiranih vrijednosti R je beskonačan. Međutim digitalna je obradba signala moguća samo ako je skup vrijednosti diskretan i konačan zbog čega je potrebna kvantizacija.

Ako se cijelo područje realnih brojeva R podijeli u N nepreklapajućih segmenata Ri (1 £ i £ N) koji predstavljaju kvantizacijske intervale, pa ako se svakom uzorku čija vrijednost xs upada u interval i dodijeli određena vrijednost yi koja predstavlja (zastupa) taj interval, izvršeno je kvantiziranje.

Slika 13.11 prikazuje primjer ravnomjerna kvantiziranja u paran broj razina kod kojeg su svi segmenti Ri jednaki pa vrijedi:

       

       

       

       

       

       

       

       

       

gdje je Dx veličina segmenta ili tzv. korak kvantizacije, a 2V je područje kvantizatora pa je broj kvantizacijskih razina:

                                                                         (13.15)

 

Slika 13.11 Ravnomjerna kvantizacija

 

Pitamo se šta je sa pogreškom odnosno varijancom pogreške kvantiziranja. Ako se uzme da je Dx<<V gdje je V = xs(t)| max onda se može pokazati da bez obzira na funkciju gustoće vjerojatnosti ulaznog procesa pogreška je ravnomjerno raspodjeljena tako da vrijedi:

       

 

 

Slika 13.12 Pogreška kvantizacije je ravnomjerno

raspodjeljena uz N >> 1

 

Slijedi varijanca pogreške:                                                                                    (13.15)

Može se dakle općenito reći da proces kvantizacije unosi u kvantizirani signal šum, pa se definira signal-šum omjer kvantizatora:

                                  (13.16)

 

Neka je kvantizator sa N razina tako da vrijedi:

       

pa je korak kvantizacije:

                                                                        (13.17)

Ako je varijanca signala  onda V predstavlja dovoljno veliku vrijednost da se uz danu p(x) vrijednost V premaši u zanemarivom broju slučajeva. Npr. ako je ulaz Gaussov onda je posve dovoljno uzeti .

 

Uz (13.17) izraz (13.15) postaje:

                                                        (13.18)

Ako se uzme da je signal ravnomjerno raspodjeljen vrijedi  pa slijedi izraz za signal-šum omjer iz (13.16):

                                                           (13.19)

Dakle signal-šum omjer kvantizacije raste s kvadratom broja kvantnih razina.

U primjenama je prikladan izraz (13.19) definiran u dB:

            (13.20)

gdje je N = 2m, tako da m odgovara broju bitova po uzorku.

 

 

Audio signal CD kvalitete se kvantizira u N = 216 razina (tj. N = 65536) tako da je broj bitova po uzorku 16. Audio signal je praktički ravnomjerno raspodjeljen pa signal-šum omjer kvantizacije prema (13.20) iznosi 96 dB. Ova vrijednost je zadovoljavajuća jer se uzima da je dinamičko područje elektroničkog orkestra 100 dB.

 

Nelinearna kvantizacija

Postavlja se pitanje da li je ravnomjerni kvantizator pravo rješenje tj. postoji li nelinearni kvantizator koji će dati, za zadanu p(x) ulaznog signala, manju varijancu greške kvantizacije. Postupak nelinearne kvantizacije može se interpretirati putem nelinearne transformacije i ravnomjerne kvantizacije kao na slici 13.13.

 

 

Slika 13.13 Nelinearna kvantizacija

 

Kakva transformacija T(x) daje minimalnu varijancu pogreške? Nelinearni element T(x) izvodi transformaciju ulazne gustoće vjerojatnosti p(x) u izlaznu p(y). Transformacija T(x) oblika kao na slici 13.13 može se na temelju izraza (11.26) pisati:

       

pa vrijedi:

                                             (13.21)

Iz uvjeta:

       

slijedi:

                                                (13.22)

 

Primjer 13.6 Nelinearna kvantizacija govornog signala

Govorni signali mogu biti dobro opisani Laplaceovom gustoćom:

       

pa iz (13.22) slijedi optimalna T(x):

                                         (13.23)

 

Slika 13.14 prikazuje T(x) definiranu izrazom (13.23). Očigledno se radi o jako nelinearnoj funkciji. Linija T(x) = x odgovara slučaju ravnomjerne kvantizacije koja nije optimalna za govorne signale ali je optimalna za ravnomjerno raspodjeljene signale.

 

Slika 13.14 T(x) prema izrazu (13.23)

 

Ako je signal nestacionaran tj. nema konstantnu varijancu kakvi su primjerice govorni signali, optimalna T(x) se mijenja sa varijancom. U takvim se slučajevima koriste ili adaptivni kvantizatori ili podoptimalni kvantizatori koji uz predviđenu dinamiku daju povoljniji signal-šum omjer. Primjer podoptimalnih kvantizatora su A i m zakon koji su standardno primjenjeni kod PCM sustava.

 

Primjer 13.7 Nelinearna kvantizacija u PCM telefonskim sustavima

Kvantizacija u PCM sustavima se izvodi primjenom T(x) koja je aproksimirana A ili m zakonom. A zakon je ITU-T standard G.711 koji predstavlja podoptimalnu T(x) koja je uz to i linearizirana po segmentima kao što je prikazano na slici 13.15. Ukupan broj linearnih segmenata je 13 pa je oznaka takva kvantizatora A 87.6/13. Vrijednost 87.6 je vrijednost veličine A a vrijednost ±1/A definira prvi linearni segment (oko nule).

 

 

Slika 13.15 Nelinearna karakteristika PCM kvantizatora prema ITU-T G.711

 

6.4 Kodiranje

 

Pretvorba kvantiziranog uzorka u binarnu kodnu grupu odnosno u digitalan signal podrazumijeva pridjeljivanje dekadskoj vrijednosti uzorka m-člani binarni niz. Ovo je ustvari sažimanje abecede što je detaljnije opisano u poglavlju 6.3.

Ako je vrijednost uzorka xk vrijedi:

       

gdje je m broj bita tako da vrijedi  a  predstavlja binarne simbole m-torke .

Npr. uz xk = 12 vrijedi:

       

 

pa je m = 4 a pripadna binarna kodna grupa je (1 1 0 0).

 

Postupak se kodiranja može odvijati uzorak po uzorak, bit po bit ili kvant po kvant.

Postupak uzorak po uzorak je primjeren većim brzinama primjerice pri kodiranju video signala. Odgovarajući koder zahtijeva N komparatora (slika 13.16). Kodiranje jednog uzorka se obavlja odjednom.

 

 

Slika 13.16 Koder uzorak po uzorak

 

Postupak bit po bit ili tzv. metoda sukcesivne aproksimacije primjerena je nižim brzinama. Odgovarajući koder zahtijeva ld N komparatora (slika 13.17). Kodiranje jednog uzorka se obavlja u m koraka.

 

 

Slika 13.17 Kodiranje bit po bit

 

Kodiranje kvant po kvant predstavlja najsporiji postupak kodiranja, ali i najjednostavniji jer je potreban samo jedan komparator. Kodiranje uzorka se obavlja u prosjeku u N/2 koraka.