14 DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA  (DFT)

I  FFT ALGORITAM

 

Uvod

Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

Učinak propuštanja

Optimalne prozorske funkcije

Brza Fourierova transformacija (FFT)

Primjene FFT

Diskretna korelacija i konvolucija putem FFT

 

14.1 Uvod

U današnjim se primjenama uglavnom koristi digitalna obradba signala. Ako je ulazni signal kontinuiran, digitalan signal se dobiva putem A/D pretvorbe.

Budući je obradnik digitalan, izlazni signal je također uzorkovan signal. Ako se radi o računanju FT, to znači da izlaz predstavlja diskretnu (po frekvenciji) spektralnu gustoću. Ako je spektralna gustoća nekog signala diskretna onda se nedvojbeno radi o periodičkom vremenskom signalu (poglavlje 9.3). Ova činjenica je od temeljne važnosti za definiranje svojstava DFT.

Svaki realan sustav za obradbu signala ima ograničen kapacitet. To znači da se može računati samo s ograničenim brojem uzoraka signala N.

Također je u praksi česta situacija da je broj uzoraka ograničen prirodom signala. Primjer takva slučaja je zvuk kojeg proizvodi jedna pritisnuta tipka klavira.

Posebna je pak situacija kod analize signala kao što su govorni signali. Govorni signali su nestacionarni slučajni signali zbog čega je računanje spektra opravdano samo u relativno kratkim intervalima reda 10 ms unutar kojih se signal može smatrati stacionarnim.

Tri su dakle glavna razloga zašto se analiza signala temelji na konačnom broju uzoraka:

 

·       konačna memorija računala

·       signali su ograničena trajanja

·       signal je stacionaran samo u konačnom intervalu.

 

Vremensko ograničenje signala odnosno ograničenje broja uzoraka je od temeljne važnosti kod razmatranja svojstava DFT.

 

14.2 Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

 

Neka  predstavlja signal uzoraka xs(t) ograničen na N uzoraka (slika 14.1). Vrijedi dakle:

       

gdje je .

 

 

Slika 14.1 Neograničen i ograničen signal uzoraka

 

Spektralna gustoća  će općenito predstavljati samo procjenu spektralne gustoće Xs(f) jer je signal nepoznat izvan intervala [0,T].

Digitalan obradnik signala (DSP) računa procjene spektralnih komponenti samo kod diskretnih vrijednosti frekvencije što znači da DSP 'vidi' ulazni signal kao da je periodičan s periodom T. Stoga rezultat DFT nije spektralna gustoća signala , nego spektralna gustoća periodične funkcije xsp(t) prikazane na slici 14.2.

Vrijedi:

                     14.1)

 

 

Slika 14.2 Periodičan signal uzoraka i njegova spektralna gustoća

 

Kao što je prikazano na slici 14.2, spektralna gustoća Xsp(f) je diskretna, što je posljedica digitalne obradbe, ali je i periodična s periodom , što je posljedica uzorkovanja (poglavlje 13.2). Naravno,  treba biti određen u skladu sa teoremom o uzimanju uzoraka.

 

Za periodične signale vrijedi izraz (10.4) tj.:

   (14.2)

gdje je  rezolucija po frekvenciji, a Am su kompleksni

Fourierovi koeficijenti uzorkovanog signala xsp(t).

 

Kad je to moguće, T treba birati veći ako se želi u spektru istražiti eventualno prisutnu finu strukturu.

 

Za kontinuirane periodične signale vrijedi (10.8):

                                         (14.3)

Za signal uzoraka xsp(t) se može pisati:

       

       

       

       

pa (14.3) postaje:

       

ili:

  (14.4)

Koeficijenti Am su periodični s periodom N, pa je za DFT potrebno računati samo N koeficijenata tako da (14.4) postaje:

  (14.5)

 

Izraz (14.5) definira Fourierove koeficijente diskretne Fourierove transformacije signala x(t). Fourierovi koeficijenti (14.5) predstavljaju procjenu Fourierovih koeficijenata kontinuiranog signala x(t) odnosno signala uzoraka xs(t). Pogreška se javlja zbog konačnog broja uzoraka N, odnosno konačnog vremena snimanja T.

Očigledno će (14.5) dati točne Fourierove koeficijente samo u slučaju kad je x(t) periodična funkcija sa periodom T odnosno općenito s periodom T/k ; k = 1,2,3,..., kao što je primjerice prikazano na slici 14.3.

 

 

Slika 14.3 Primjer kad DFT daje točan spektar

 

Ulazni signal nije općenito periodičan, a ako i jest, njegov period T1 nije općenito jednak T/k. Stoga je zanimljivo detaljnije razmotriti problem procjene DFT koeficijenata kao i mogućnost otklanjanja odnosno smanjenja pogreške koja se javlja u proračunu.

Inverzna diskretna Fourierova transformacija (IDFT) se u skladu s (10.12) definira izrazom:

                                        (14.6)

odnosno:

                                            (14.7)

 

14.3 Učinak propuštanja

 

Promotrimo problem ograničenja uzorkovanog signala pri računanju DFT ignorirajući zbog jednostavnosti činjenicu da je DFT diskretna. Ograničenje signala na interval T, može se interpretirati kao množenje signala xs(t) sa tzv. prozorskom funkcijom w0(t) (slika 14.4) gdje je:

 

                                          (14.8)

 

 

Slika 14.4 Ograničenje signala kao množenje
s prozorskom funkcijom

 

Množenje dvaju signala u vremenskom području odgovara konvoluciji njihovih spektralnih gustoća (izraz 12.31):

 

           (14.9)

 

Promatrajmo zbog jednostavnosti samo apsolutne iznose spektralnih gustoća. Spektralna gustoća w(t) je dana u skladu s (9.24):

                                                  (14.10)

 

 

Slika 14.5 Konvolucija spektralnih gustoća

signala uzoraka i prozora

 

Slika 14.5 prikazuje rezultirajući spektar . Zbog konvolucije s W(f) spektar Xsp(f) nije jednak Xs(f). Općenito uzevši sve su frekvencijske komponente pogrešne. Nastala se pojava naziva učinak propuštanja. Naime može se reći da je u postupku računanja DFT došlo do uvlačenja šuma čime je izlazni signal–šum omjer smanjen. Iz slike 14.6 koja prikazuje spektralnu gustoću se može zaključiti da je signal-šum omjer samo 13 dB što je za većinu primjena neprihvatljivo niska vrijednost. Kao posljedica učinka propuštanja javlja se pogreška u amplitudi DFT koeficijenata od čak 4.4 dB (slika 14.8).

 

 

Primjer 14.1 Učinak propuštanja kod DFT sinusnog signala

 

Promotrimo sljedeće slučajeve:

 

·       sinusni signal periodičan u prozoru (T1=T/3)

·       signal neperiodičan u prozoru (T1=T/2.5)

 

gdje je T1 period signala a T trajanje odnosno širina prozora.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.6 Pravokutan prozor i pripadna spektralna gustoća

 

 

Slika 14.7 DFT sinusnog signala periodičnog u prozoru (T = 3T1)

 

Iz slike 14.7 se vidi da u slučaju periodična signala u prozoru (T=3T1), spektar računat preko DFT je bez greške uz odgovarajuću rezoluciju Df = 1/T.

 

 

Slika 14.8 DFT sinusnog signala neperiodičnog u prozoru (T = 2.5T1)

 

Učinak propuštanja za slučaj neperiodičnog sinusnog signala u prozoru je očigledan na slici 14.8. Spektar  sadrži vrlo jak šum tako da su impulsi kod frekvencija  u velikoj mjeri zamaskirani šumom.

 

14.4 Optimalne prozorske funkcije

Postavlja se pitanje kako otkloniti odnosno umanjiti učinak propuštanja.

Očigledno bi učinak nestao u slučaju kad bi spektralna gustoća prozora imala oblik:

                                         (14.11)

 

 

Slika 14.9a Idealan spektar prozora

 

Uz spektar prozora kao na slici 14.9a rezultat DFT bi za primjer na slici 14.7 bio jednako točan. Za slučaj na slici 14.8 rezultat bi bio kao na slici 14.9b.

 

Slika 14.9b DFT uz idealni spektar prozora

 

Može se reći da se spektar  na slici 14.9b podudara sa spektrom Xs(f) na slici 14.7. Razlika koja postoji posljedica je konačne rezolucije .

Međutim pravokutan spektar W(f) na slici 14.9a predstavlja idealizaciju. Vremenska funkcija w(t) ograničena na interval  ne može imati Fourierovu transformaciju W(f) ograničenu na interval  nego je W(f) neograničena.

Stoga je potrebno naći prozorsku funkciju w(t) čija spektralna gustoća najbolje, prema odabranom kriteriju, aproksimira pravokutni impuls na slici 14.9a. Kriteriji za izbor W(f) mogu biti različiti. Najjednostavniji se kriterij temelji na energiji u području . U skladu s tim kriterijem, najpovoljnija W(f) će biti ona kod koje je relativni udio energije u području  najveći.

Definiramo energijski omjer:

                                                   (14.12)

Rješenja izraza (14.12) koja daju  vode na prozorske funkcije koje su energijski optimizirane u odabranom području (- k Df, k Df), k = 1,2,3,....

 

Uz područje integracije od  dobiva se W1(f) koja osigurava najveću moguću rezoluciju Df = 1/T. U tom slučaju se dobiva  tj. glavna latica W1(f) sadrži 98.1% energije signala.

Ako se za područje integracije uzme  dobiva se W2(f) uz .

Očito je W2(f) povoljniji sa stajališta energije, ali treba voditi računa da je uz W2(f) rezolucija dvostruko niža tj. . Općenito se može definirati prozor Wk(f) uz rezoluciju kDf.

 

Stvar je određene primjene da li će se birati prozorska funkcija koja ima veći energijski omjer ili prozorska funkcija veće rezolucije.

 

Slika 14.10 prikazuje  i . Omjer prve najveće sporedne latice i glavne latice može se smatrati omjerom signal-šum kojeg osigurava dani prozor.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.10a Optimalni prozor w1 i pripadna spektralna gustoća

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.10b Optimalni prozor w2 i pripadna spektralna gustoća

 

 

 

Slijedi da w1(t) osigurava oko 25 dB, a w2(t) oko 50 dB omjer signal-šum. Zanimljivo je ove vrijednosti usporediti s 13 dB omjera signal-šum za pravokutan prozor w0(t) dan na slici 14.6. Najveća pogreška po amplitudi DFT koeficijenata je kod w1(t) oko 2.2 dB, a za prozor w2(t) oko 1.2 dB u poredbi s 4.4 dB za prozor w0(t).

 

Smanjenje učinka propuštanja može se postići i sa neoptimalnim prozorskim funkcijama koje je međutim lako matematički definirati u vremenskom području.

Slika 14.11 prikazuje za primjenu korisne prozorske funkcije i to trokutasti prozor koji se naziva i Parzenov prozor zatim sinusni prozor. Slika 14.12 prikazuje prozor podignuti kosinus koji se naziva i Hanning prozor definiran izrazom:

       

a slika 14.13 prikazuje sličan ali optimalniji prozor pod nazivom Hamming prozor definiran izrazom:

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.11a Trokutni (Parzenov) prozor i njegova spektralna gustoća

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.11b Sinusni prozor i njegova spektralna gustoća

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.12 Hanning prozor i njegova spektralna gustoća

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.13 Hamming prozor i njegova spektralna gustoća

Hannov prozor je vrlo blizak prozoru w2(t) koji je dobiven maksimiziranjem energijskog omjera (14.12). Ovaj prozor se može primijeniti izravno u frekvencijskom području putem izraza:

                                  (14.16)

gdje su Am' modificirani Fourierovi koeficijenti s umanjenim učinkom propuštanja.

Među mnogobrojnim tipovima prozorskih funkcija, spomenimo još one koje se temelje na ograničenju razine sporednih latica u Fourierovoj transformaciji uz minimalnu širinu glavne latice. Dobiveni prozori se nazivaju i Dolph-Chebyshevljevi filtri. Slika 14.14 prikazuje primjer takva prozora u vremenskom i frekvencijskom području dobiven uz razinu sporednih latica od – 60 dB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Slika 14.14 Spektralna gustoća Dolph-Chebyshevljeva prozora

 

Primjer Dolph-Chebyshevljeva prozora na slici 14.14 ima razinu šuma – 60 dB i najveću pogrešku u amplitudi DFT koeficijenata od 0.75 dB.

 

 

Zaključak

 

Uporaba optimalnih prozorskih funkcija koje umanjuju učinak propuštanja je standardan postupak kod računanja DFT. Slika 14.15 prikazuje shemu koja uključuje množenje signala s prozorskom funkcijom. Digitalni analizatori spektra sadrže izbornik prozorskih funkcija koje se biraju tako da se maksimizira točnost ili maksimizira rezolucija.

 

 

 

Slika 14.15 Blok shema DFT analize