FOURIEROVA TRANSFORMACIJA ELEMENTARNIH FUNKCIJA

 

 

FT kompleksne eksponencijale

 

 

          Slijedi:

pa na temelju (9.28) vrijedi:

 

                                                         (9.29)

 

          FT kompleksne eksponencijale frekvencije  je jedinični impuls kod .

 

FT sinusne funkcije

 

 

Slika 9.25 Sinusni signal

 

Vrijedi:

                  

 

Na temelju izraza (9.29) slijedi:

 

                  

 

          Dakle, vrijedi FT par:

 

                                                (9.30)

 

Slika 9.26 FT sinusnog signala

 

Spektralna gustoća sinusne funkcije je imaginarna jer je sinusna funkcija nesimetrična.

 

Zadatak 9.1 Naći FT kosinusne funkcije. Kod rješavanja se može koristiti svojstva e) ili g) koja omogućuju definiranje kosinusne funkcije kao kašnjene sinusne funkcije ili kao derivirane sinusne funkcije.

 

Fourierova transformacija dviju realnih funkcija

 

Neka su x1(t) i x2(t) realne funkcije uz FT parove:

 

         

         

 

Može se definirati kompleksna funkcija x(t) tako da vrijedi:

 

         

 

odnosno prema svojstvu linearnosti (9.4) vrijedi:

 

                    (9.32)

 

Poredbom (9.31) i (9.32) može se pomisliti da vrijedi:

 

         

 

ali ovdje to nije moguće jer je X1(f) kompleksna funkcija dok je Xr(f) realna funkcija.

 

Uz:

         

 

slijedi:

 

                                                        (9.33)

         

 

Budući za realne funkcije vrijedi (9.6):

 

         

         

 

imamo:

 

                                                      (9.34)

         

 

Rješenje (9.33) i (9.34) po X1r(f), X1i(f); X2r(f), X2i(f) daje:

 

         

                (9.35)

 

Izrazi (9.35) kažu da se FT dviju realnih funkcija može se zamijeniti s FT jedne kompleksne funkcije tj. vrijedi:

 

          (9.36)

 

 

Slika 9.27 FT dviju realnih funkcija računatih odvojeno

 

Slika 9.28 FT dviju realnih funkcija se može računati

kao FT jedne kompleksne funkcije

 

Budući da je FT prilagođena kompleksnom ulazu koji je općenito nužan zbog IFT, ovakav put znači uštedu. Posebno je interesantno kod real-time analize.

 

Hilbertova transformacija

 

Neka imamo Fourierov transformacijski par:

 

         

 

gdje vrijedi izraz za inverznu FT (9.2):

 

         

 

Ako se uzme samo pozitivno frekvencijsko područje od X(f) i nađe putem IFT odgovarajuća vremenska funkcija z(t) takav signal se naziva analitički signal pridružen realnom signalu x(t). Dakle vrijedi:

 

                                                         (9.37)

 

Očito je da z(t) nije realna nego kompleksna funkcija jer realne funkcije imaju Fourierovu transformaciju u cijelom području frekvencije .

 

Može se pisati:

 

         

 

pa u frekvencijskom području vrijedi:

                                                        (9.38)

jer vrijedi:

         

 

 

Slika 9.29 Formiranje Z(f) iz X(f) prema izrazu (9.38)

 

IFT od (9.38) daje:

 

           odnosno:

                                                    (9.39)

jer vrijedi transformacijski par:

         

 

Izraz (9.39) se može pisati:

 

         

 

gdje je:

                                       (9.40)

 

tzv. Hilbertova transformacija realne funkcije x(t).

 

Proizlazi da je Hilbertova transformacija nekog realnog signala x(t) jednaka izlazu iz linearnog sustava sa odzivom, odnosno prijenosnom funkcijom:

                                 (9.41)

 

Slika 9.30 Generiranje Hilbertove transformacije putem kvadraturnog filtra

 

Autokorelacija Hilbertove transformacije

 

Autokorelacija izlaza iz linearnog sustava definiran je izrazom

         

Pošto je |H(f)|=1 slijedi:

         

odnosno:

                                                                               (9.42)

Dakle, autokorelacija signala x(t) jednaka je autokorelaciji njegove Hilbertove transformacije.

Jednake su i spektralne gustoće snage.

 

Korelacija x(t) i njegove Hilbertove transformacije

 

Korelacija izlaza i ulaza linearnog sustava je definirana izrazom (10.?):

         

Uz:

         

slijedi:

                                                                (9.43)

pa u vremenskom području vrijedi:

                                                                             (9.44)

Očito vrijedi:

         

te:

         

Dakle, korelacija neke realne funkcije sa njenom Hilbertovom transformacijom je uvijek neparna funkcija!

OBRADBA SIGNALA

 

Korelacija i autokorelacija

Fourierova transformacija autokorelacije

Autokorelacija derivacije funkcije

Korelacija (uzajamna korelacija)

Konvolucija

Princip holografije

 

 

Zašto obradba signala? Brojni su razlozi, ali s gledišta teorije informacija obradba ima za cilj prije svega odrediti informacijski sadržaj koji promatrani signal nosi. Nadalje obradba signala omogućava pretvorbu informacije iz jednog oblika u drugi. Primjerice pretvorba kontinuiranog u diskretni oblik predstavlja analogno-digitalnu (A/D) pretvorbu (poglavlje 13), transformacija signala u frekvencijsko područje obavlja se putem kontinuirane Fourierove transformacije (poglavlje 9) ili putem diskretne Fourierove transformacije (poglavlje 14).

U ovom se poglavlju definiraju funkcije autokorelacije, korelacije i konvolucije za determinističke i to baš aperiodične signale.

 

Autokorelacija otkriva ovisnost između vrijednosti signala vremenski odvojenih, korelacija otkriva ovisnost ili povezanost dvaju različitih signala, a konvolucija je usko povezana s linearnim sustavima opisanim šire u poglavlju 15.

 

Korelacija i autokorelacija

Funkcija autokorelacije za kontinuiran signal x(t) se definira izrazom:

                                                   (12.1)

Za diskretni signal xn vrijedi slično:

                                                    (12.2)

Autokorelacijska funkcija  otkriva ovisnost koja postoji u signalu x(t) između vrijednosti vremenski razmaknutih za . Slika 12.1 ilustrira postupak računanja vrijednosti autokorelacije . Funkcija x(t) množi kašnjenu funkciju , pa u skladu s izrazom (12.1) površina ispod  predstavlja .

 

 

Slika 12.1 Ilustracija proračuna autokorelacije za kontinuirane signale

 

Lako je zaključiti da će izraz (12.1) dati isti rezultat neovisno o predznaku . Općenito funkcija autokorelacije ima sljedeća svojstva:

 

·    simetrična je tj. vrijedi ,

·    ima maksimum u ,

·    postaje jednaka nuli kad .

 

Navedena se svojstva mogu dokazati na sljedeći način:

 

a) simetrija

                  

                  

          pa uz :

                              (12.3)

Zaključak: Funkcija autokorelacije je simetrična funkcija.

 

b) Za sve realne funkcije vrijedi tzv. Swartzova nejednakost:

                  

          odnosno:

                (12.4)

          Budući vrijedi:

                  

                  

          Izraz (12.3) se može pisati u obliku:

 

                  

          ili:                                   (12.5)

          Zaključak: Autokorelacijska funkcija ima u  maksimum!

 

c) Za sve apsolutno integrabilne x(t) vrijedi

Primjer 12.1 Autokorelacija pravokutna impulsa

 

Zadan je pravokutan impuls širine T i visine A. Vrijedi:

 

Slika 12.2 Pravokutan impuls i proračun autokorelacije

 

Iz (12.1) slijedi:

         

dakle:

                                      (12.6)

 

Slika 12.3 Autokorelacija pravokutna impulsa prema (12.6)

 

Autokorelacija  pravokutnog impulsa očigledno posjeduje svojstva a), b) i c).

 

Primjer 12.2 Autokorelacija diskretna pravokutna impulsa

 

Zadan je diskretan pravokutan impuls:

                   

 

Prema izrazu (12.2) očigledno vrijedi:

         

         

Odnosno općenito vrijedi:

         

 

 

Fourierova transformacija autokorelacije

 

Fourierova transformacija funkcije x(t) je definirana izrazom (9.1). Fourierova transformacija kašnjene funkcije  je dana izrazom (9.13) pa se uz (9.2) može pisati:

 

         

odnosno:

 

             (12.7)

Budući vrijedi:

 

         

izraz (12.7) postaje:

                                             (12.8)

Izraz (12.8) predstavlja u skladu s (9.2)  pa vrijedi Fourierov transformacijski par:

 

                            (12.9)

Dakle Fourierova transformacija autokorelacije je jednaka umnošku kompleksno konjugirane spektralne gustoće signala i spektralne gustoće signala.

 

Za realne funkcije x(t) zbog svojstava (9.6) vrijedi:

 

                                                                    (12.10)

 

Za realne x(t), Fourierova transformacija Rx(t) odgovara kvadratu apsolutnog iznosa spektralne gustoće signala.

 

Uz  iz (12.1) i (12.10) slijedi:

                                      (12.11)

 

Za diskretni signal x(n) vrijedi:

 

         

 

Relacija (12.11) je poznata i kao Parsevalov teorem za aperiodičke funkcije.

Neka je x(t) napon na otporu  pa iz (12.11) slijedi:

                                                                (12.12)

što prestavlja energiju [Ws] potrošenu na otporu.

 

Proizlazi da  predstavlja spektar gustoće energije.

 

Napomena: Za realne vremenske funkcije autokorelacija  je realna i simetrična pa je prema (9.10) spektar gustoće energije  također realna i simetrična funkcija.

 

Slika 12.4 ilustrira svojstvo simetričnosti FT prema (9.18) i (9.19) primjenjeno na funkciju autokorelacije i njezinu FT.

 

 

Slika 12.4 Svojstvo simetričnosti FT za autokorelaciju

 

Na temelju FT para  slijedi da autokorelacijska funkcija ne sadrži informaciju o fazi signala. Vremenske funkcije sa istim spektrom amplituda, a različitim spektrom faza, imaju jednaku autokorelacijsku funkciju. Autokorelacijska funkcija ne određuje jednoznačno pripadnu vremensku funkciju.

 

Autokorelacija derivacije funkcije

 

Uz FT parove:

 

         

         

traži se autokorelacija derivacije vremenske funkcije.

Budući da prema (9.15) vrijedi:

         

slijedi:

 

         

Desna strana je očigledno  pa slijedi:

 

         

Vrijedi dakle:

 

                                                                  (12.13)

 

Zaključak: Autokorelacija derivacije vremenske funkcije je jednaka negativnoj drugoj derivaciji autokorelacije vremenske funkcije.

 

Također se može lako pokazati da vrijedi:

 

                                                           (12.14)

 

gdje  označava konvoluciju (vidi (12.27)).

 

 

Primjer 12.3 Autokorelacija deriviranog pravokutna impulsa

 

Autokorelacija pravokutna impulsa je (primjer 12.1) prikazana na slici 12.5. Lako je odrediti x'(t) i pripadnu autokorelaciju  koji su prikazani na slici 12.6 (poglavlje 12.6).

 

 

 

Slika 12.6 Autokorelacija pravokutna impulsa i autokorelacija njegove derivacije

 

S druge strane, nađimo  koristeći izraz (12.13). Slika 12.7 prikazuje autokorelaciju pravokutna impulsa te njegovu prvu i drugu derivaciju.

 

 

Slika 12.7 Autokorelacija pravokutna impulsa i njezina prva i druga derivacija

 

Iz slika 12.6 i 12.7 očigledno vrijedi: